层次分析法（AHP）

Analytic Hierarchy Process — 系统性多准则决策方法

0 方法概览与层次结构

将复杂决策问题分解为三层结构，通过两两比较量化判断，最终得出各方案的综合优先级权重。

1 构造判断矩阵

对同一层级的元素进行两两比较，用 1～9 标度法赋值，构造 n×n 正互反矩阵 A，满足 $a_{ij} = 1/a_{ji}$，对角线为 1。

示例：准则层对目标层的判断矩阵

矩阵中每个元素 $a_{ij}$ 表示"行元素相对于列元素的重要程度"，互为倒数关系由矩阵自动保证。

2 计算权重向量

使用算术平均法（近似计算，工程中最常用）：

① 对判断矩阵按列求和，得到各列的列和 $S_j$

② 每个元素除以所在列的列和，对矩阵进行列归一化

③ 对归一化矩阵按行求平均值，即为权重向量 $\mathbf{W} = [w_1, w_2, \dots, w_n]^\top$

$$ w_i = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^{n} a_{kj}} $$

沿用上例，得到准则层权重向量：

3 一致性检验

判断矩阵是否存在逻辑矛盾（如"A > B > C 但 C > A"）。共四个子步骤：

第一步：计算最大特征值 $\lambda_{max}$

$$ \lambda_{max} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{(A\mathbf{W})_i}{w_i} $$

其中 $(A\mathbf{W})_i$ 为矩阵 $A$ 与权重向量 $\mathbf{W}$ 之积的第 $i$ 个分量。

第二步：计算一致性指标 CI

$$ CI = \frac{\lambda_{max} - n}{n - 1} $$

$n$ 为判断矩阵阶数；完全一致时 $\lambda_{max} = n$，$CI = 0$。

第三步：查找平均随机一致性指标 RI

$n = 1$ 或 $2$ 时，矩阵必然满足一致性，无需检验；RI 由 Saaty 通过大量随机矩阵仿真统计得出。

第四步：计算一致性比例 CR

$$ CR = \frac{CI}{RI} $$

• ✅ CR < 0.1：一致性可接受，权重有效，可继续
• ❌ CR ≥ 0.1：判断矩阵逻辑矛盾过大，需重新修正

4 层次总排序

对每个方案，在每个准则下分别构造判断矩阵（重复步骤 1～3），得到方案对各准则的局部权重 $w_{ij}$，再按准则权重加权求和得到最终综合得分：

$$ \text{综合得分}_{\text{方案}i} = \sum_{j} w_j \times w_{ij} $$

其中 $w_j$ 为准则 $j$ 的权重，$w_{ij}$ 为方案 $i$ 在准则 $j$ 下的局部权重。

示例综合得分（括号内为准则权重）：

层次总排序也需进行一致性检验：
$$CR_{总} = \frac{\sum w_j \cdot CI_j}{\sum w_j \cdot RI_j} < 0.1$$

5 完整流程总览

方法评价