层次分析法（AHP）

Analytic Hierarchy Process — 系统性多准则决策方法

0 方法概览与层次结构

将复杂决策问题分解为三层结构，通过两两比较量化判断，最终得出各方案的综合优先级权重。

层级内容示例
目标层最终决策目标（唯一）选择最佳旅游城市
准则层评价维度（3～9 个）景色、费用、交通、饮食
方案层备选方案北京、上海、成都

1 构造判断矩阵

对同一层级的元素进行两两比较，用 1～9 标度法赋值，构造 n×n 正互反矩阵 A，满足 $a_{ij} = 1/a_{ji}$，对角线为 1。

标度值含义
1同等重要
3稍微重要
5明显重要
7强烈重要
9极端重要
2, 4, 6, 8上述相邻判断的中间值

示例：准则层对目标层的判断矩阵

景色费用交通饮食
景色1253
费用1/2132
交通1/51/311/2
饮食1/31/221
矩阵中每个元素 $a_{ij}$ 表示"行元素相对于列元素的重要程度"，互为倒数关系由矩阵自动保证。

2 计算权重向量

使用算术平均法（常见的近似方法）：

① 对判断矩阵按列求和，得到各列的列和 $S_j$

② 每个元素除以所在列的列和，对矩阵进行列归一化

③ 对归一化矩阵按行求平均值，即为权重向量 $\mathbf{W} = [w_1, w_2, \dots, w_n]^\top$

$$ w_i = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^{n} a_{kj}} $$

沿用上例，得到准则层权重向量（显示六位小数，后续计算使用未舍入值）：

准则景色费用交通饮食
权重 w0.4824070.2717980.0882870.157508

3 一致性检验

判断矩阵是否存在逻辑矛盾（如"A > B > C 但 C > A"）。共四个子步骤：

第一步：估计最大特征值 $\lambda_{max}$

$$ \lambda_{max} \approx \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{(A\mathbf{W})_i}{w_i} $$

其中 $(A\mathbf{W})_i$ 为矩阵 $A$ 与权重向量 $\mathbf{W}$ 之积的第 $i$ 个分量。这里 W 来自算术平均法，因此上式是估计式；若 W 为对应的主特征向量，各分量比值才等于最大特征值。

第二步：计算一致性指标 CI

$$ CI = \frac{\lambda_{max} - n}{n - 1} $$

$n$ 为判断矩阵阶数；完全一致时 $\lambda_{max} = n$，$CI = 0$。

第三步：查找平均随机一致性指标 RI

n123456789101112131415
RI000.520.891.111.251.351.401.451.491.511.541.561.571.58
$n = 1$ 或 $2$ 的正互反矩阵无需计算 CR，避免除以零。RI 是随机正互反矩阵的一致性指标平均值，不同抽样方案的表值会不同。本文统一采用 Salomon 与 Gomes（2024）表 3 的 Usual 列，本例 n=4 使用 RI=0.89，不与其他版本混用。

第四步：计算一致性比例 CR

$$ CR = \frac{CI}{RI} $$

  • ✅ CR < 0.1：判断的一致性可接受，可继续分析；不等于权重客观正确或决策必然正确
  • ❌ CR ≥ 0.1：未通过本文采用的一致性阈值，需要重新检查判断。

本例按未舍入的近似权重计算，最大特征值估计为 4.014536，CI ≈ 0.004845，CR ≈ 0.005444，低于 0.1。

4 层次总排序

对每个方案，在每个准则下分别构造判断矩阵（重复步骤 1～3），得到方案对各准则的局部权重 $w_{ij}$，再按准则权重加权求和得到最终综合得分：

$$ \text{综合得分}_{\text{方案}i} = \sum_{j} w_j \times w_{ij} $$

其中 $w_j$ 为准则 $j$ 的权重，$w_{ij}$ 为方案 $i$ 在准则 $j$ 下的局部权重。

示例综合得分（括号内为准则权重；局部权重为演示输入，综合得分用未舍入准则权重计算）：

方案景色 (0.482407)费用 (0.271798)交通 (0.088287)饮食 (0.157508)综合得分
北京0.300.250.450.200.283902
上海0.250.400.400.500.343390
成都0.450.350.150.300.372708 ✓
层次总排序也需检查局部判断矩阵的一致性。下式要求分母大于 0；局部矩阵全为一、二阶时不计算该比值。此处只给出了局部权重，没有提供对应判断矩阵，因此不能据这张表声称已通过总排序一致性检验：
$$CR_{总} = \frac{\sum w_j \cdot CI_j}{\sum w_j \cdot RI_j} < 0.1$$

5 完整流程总览

阶段操作输出
建模构建目标—准则—方案层次结构层次结构图
赋值对各层两两比较，填写判断矩阵判断矩阵 A
计算列归一化 → 行平均 → 权重向量权重向量 W
检验计算 $\lambda_{max}$ → CI → CRCR < 0.1 通过
排序加权求和，计算综合得分方案优先级排序
决策综合得分最高者为推荐方案本组判断下的推荐方案

方法评价

优点局限
定性判断量化，系统性强准则/方案过多时矩阵数量爆炸
一致性检验保障逻辑自洽仍依赖专家主观赋值
定性 + 定量有机结合n > 9 时一致性难以保证
应用广泛，工具成熟（Excel / MATLAB）新增方案可能引起"排序逆转"