基于 TOPSIS 的多指标综合评价模型
基于 TOPSIS 的多指标综合评价模型
摘要
本文针对高考择校这一典型多指标决策问题，建立 TOPSIS（优劣解距离法）综合评价模型。模型包含四个步骤：识别指标类型并将各指标正向化；对正向化矩阵作向量归一化；构造理想最优解与理想最劣解并计算各方案到二者的加权欧氏距离；以贴近度作为综合评价依据。研究对象为四所候选学校，评价指标为师资、学费、班级人数与平均气温，四者分别属于极大型、极小型、中间型与区间型指标。求解得各校贴近度为：学校D 0.7788、学校C 0.5110、学校A 0.4899、学校B 0.4378，学校D 综合最优。分析表明：TOPSIS 倾向于选择各指标均无明显短板的方案，而非存在突出长板但短板明显的方案；权重作为外部输入，可与层次分析法或熵权法结合使用。
关键词：TOPSIS；正向化；理想解；贴近度；多指标评价
一、问题描述
某同学面临高考择校问题，需从四所候选学校中确定最终去向。评价指标共四项：
- 师资：以量化分数表示；
- 学费：以万元/年表示；
- 班级人数：以人数表示，一般认为 40 人左右最为适宜；
- 平均气温：以摄氏度表示，一般认为 16～18℃ 最为舒适。
原始数据如下：
| 师资 | 学费（万） | 班级人数 | 平均气温（℃） | |
|---|---|---|---|---|
| 学校A | 90 | 4.0 | 35 | 15 |
| 学校B | 85 | 3.0 | 50 | 21 |
| 学校C | 92 | 4.5 | 40 | 19 |
| 学校D | 88 | 3.5 | 38 | 17 |
要求建立综合评价模型，对四所学校排序并给出推荐。
二、模型假设
- 四项指标相互独立，不存在显著的交互影响；
- 各项指标数据真实可靠，不存在测量误差；
- 各指标均可量化，且其"最优"含义可由指标类型唯一确定；
- 班级人数与平均气温的最优取值分别为 40 人、区间 [16, 18]℃，由一般经验确定；
- 本模型先采用等权重进行初步评价，权重取值不影响模型结构。
三、符号说明
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| $A$ | 原始数据矩阵，$m \times n$ |
| $m$ | 方案（学校）个数 |
| $n$ | 指标个数 |
| $\tilde{x}_{ij}$ | 正向化后的指标值 |
| $x_{best}$ | 中间型指标的最优值 |
| $[a,b]$ | 区间型指标的最佳区间 |
| $M$ | 中间型/区间型指标正向化时的归一化因子 |
| $z_{ij}$ | 标准化后的指标值 |
| $z_j^+$ | 第 $j$ 个指标的理想最优解 |
| $z_j^-$ | 第 $j$ 个指标的理想最劣解 |
| $w_j$ | 第 $j$ 个指标的权重 |
| $D_i^+$ | 方案 $i$ 到理想最优解的加权距离 |
| $D_i^-$ | 方案 $i$ 到理想最劣解的加权距离 |
| $S_i$ | 方案 $i$ 的贴近度（综合得分） |
四、模型建立与求解
4.1 指标类型识别
不同指标对"优"的定义方向不同，若直接比较会相互抵消，因此必须先统一方向。四个指标的类型判定如下：
| 指标 | 类型 | 判定依据 |
|---|---|---|
| 师资 | 极大型（效益型） | 越高越好 |
| 学费 | 极小型（成本型） | 越低越好 |
| 班级人数 | 中间型 | 越接近 40 人越好 |
| 平均气温 | 区间型 | 落在 [16, 18]℃ 最好 |
4.2 指标正向化
将各指标统一转化为"数值越大越优"。
（1）极大型指标：无需处理。
（2）极小型指标：
$$ \tilde{x} = \max(x) - x $$
（3）中间型指标（$x_{best}$ 为最优值）：
$$ \tilde{x} = 1 - \frac{|x - x_{best}|}{M}, \qquad M = \max_i |x_i - x_{best}| $$
（4）区间型指标（$[a,b]$ 为最佳区间）：
$$ \tilde{x} = \begin{cases} 1 - \dfrac{a - x}{M}, & x < a \\[6pt] 1, & a \le x \le b \\[6pt] 1 - \dfrac{x - b}{M}, & x > b \end{cases} \qquad M = \max\{a - \min(x),\ \max(x) - b\} $$
归一化因子 $M$ 的计算
- 班级人数（中间型，$x_{best} = 40$）：$|35-40|,\ |50-40|,\ |40-40|,\ |38-40|$ 的最大值为 $M = 10$；
- 平均气温（区间型，$[a,b] = [16,18]$）：$\max\{16-15,\ 21-18\} = 3$。
正向化结果
| 师资 | 学费 | 班级人数 | 气温 | |
|---|---|---|---|---|
| A | 90 | 4.5−4.0 = 0.5 | 1−5/10 = 0.5 | 1−(16−15)/3 = 0.667 |
| B | 85 | 4.5−3.0 = 1.5 | 1−10/10 = 0 | 1−(21−18)/3 = 0 |
| C | 92 | 4.5−4.5 = 0 | 1−0/10 = 1 | 1−(19−18)/3 = 0.667 |
| D | 88 | 4.5−3.5 = 1 | 1−2/10 = 0.8 | 17 ∈ [16,18] → 1 |
气温一项可说明区间型指标的特点：15℃ 与 19℃ 同样偏离最佳区间，正向化后均为 0.667，只有落入 16～18℃ 才取得满分。
4.3 数据标准化
正向化后各指标量纲仍不一致（师资为 80 量级，其余为 0～1 量级），采用向量归一化消除量纲影响：
$$ z_{ij} = \frac{\tilde{x}_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m} \tilde{x}_{ij}^{2}}} $$
标准化结果：
| 师资 | 学费 | 班级人数 | 气温 | |
|---|---|---|---|---|
| A | 0.506827 | 0.267261 | 0.363696 | 0.485071 |
| B | 0.478670 | 0.801784 | 0 | 0 |
| C | 0.518090 | 0 | 0.727393 | 0.485071 |
| D | 0.495564 | 0.534522 | 0.581914 | 0.727607 |
4.4 理想解构造与距离计算
取标准化矩阵各列的最大值构成理想最优解，最小值构成理想最劣解：
$$ z_j^+ = \max_i z_{ij}, \qquad z_j^- = \min_i z_{ij} $$
本问题中：
$$ z^+ = [0.518090,\ 0.801784,\ 0.727393,\ 0.727607] $$
$$ z^- = [0.478670,\ 0,\ 0,\ 0] $$
计算各方案到两个理想解的加权欧氏距离：
$$ D_i^+ = \sqrt{\sum_{j=1}^{n} w_j\left(z_{ij} - z_j^+\right)^2}, \qquad D_i^- = \sqrt{\sum_{j=1}^{n} w_j\left(z_{ij} - z_j^-\right)^2} $$
本文初步取等权重 $w_j = 0.25$。
| 学校 | $D_i^+$ | $D_i^-$ |
|---|---|---|
| A | 0.345304 | 0.331584 |
| B | 0.514798 | 0.400892 |
| C | 0.418832 | 0.437592 |
| D | 0.152561 | 0.537130 |
4.5 贴近度计算
$$ S_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-} $$
$S_i \in [0,1]$，数值越大表示方案越优。
五、结果分析
| 学校 | 贴近度 $S_i$ | 排名 |
|---|---|---|
| 学校D | 0.778798 | 1 |
| 学校C | 0.510953 | 2 |
| 学校A | 0.489865 | 3 |
| 学校B | 0.437803 | 4 |
推荐学校D。 结合正向化结果分析各方案特征：
| 师资 | 学费 | 班级人数 | 气温 | |
|---|---|---|---|---|
| A | 90 | 0.5 | 0.5 | 0.667 |
| B | 85 | 1.5 | 0 | 0 |
| C | 92 | 0 | 1 | 0.667 |
| D | 88 | 1 | 0.8 | 1 |
（加粗表示该列最优值）
- 学校C 在师资与班级人数两项均取得最优值，但平均气温为 19℃，未落入最佳区间；
- 学校B 在班级人数（50 人）与平均气温（21℃）两项均为最低值，虽学费最为低廉，仍排名末位；
- 学校D 没有任何一项取得最优值，但四项均处于较优水平，其 $D_i^+$ 仅为 0.1526，是四所学校中唯一低于 0.2 的。
结果表明：TOPSIS 倾向于选择各指标均无明显短板的方案，而非存在突出长板但短板明显的方案。 这是因为 $D_i^+$ 对任一指标的偏离都予以惩罚，短板越明显，距离理想解的加权距离越大。
六、模型评价
优点
- 充分利用原始数据信息，不依赖主观构造判断矩阵；
- 能够同时处理极大型、极小型、中间型与区间型四类指标，适用面广；
- 结果以贴近度形式给出，物理意义明确（与理想解的相对接近程度），便于排序；
- 计算过程完全可复现，不受决策者主观偏好影响（当权重取等权时）。
局限
- 权重需外部给定，本文采用等权重，未反映指标间的实际重要性差异；
- 理想解的构造依赖方案集本身，增加或删除备选方案可能导致排序变化；
- 采用欧氏距离，隐含各指标间线性无关的假设；
- 中间型与区间型指标的 $x_{best}$、$[a,b]$ 仍需经验确定，存在一定主观性。
改进方向
- 权重可结合层次分析法（AHP）由专家判断确定，或采用熵权法由数据离散程度客观确定，亦可将两者组合赋权；
- 可对权重作敏感性分析，检验排序结果的稳健性。
附录：Python 代码
"""
同学高考择校，从师资、学费、班级人数、城市气温等指标中考虑，决定最终去向
"""
import numpy as np
A = np.array(
[
[90, 4.0, 35, 15],
[85, 3.0, 50, 21],
[92, 4.5, 40, 19],
[88, 3.5, 38, 17]
]
)
"""
师资 学费 班级人数 平均气温
学校A 90 4.0 35 15
学校B 85 3.0 50 21
学校C 92 4.5 40 19
学校D 88 3.5 38 17
"""
# 因为师资肯定是越高越好。
# --> 所以：这是极大型指标
# 同理：学费是极小型指标
# 班级人数（40人合适）：中间型指标
# 平均气温（维持在16-18度合适）：区间型指标
"""
极大项指标 师资
极小项指标 学费
中间型指标 班级人数（最好40人），此时x_best = 40
区间型指标 年均气温（最好是 16 - 18 度）
"""
"""
注意⚠️ 中间型指标和区间型指标才有M，且计算公式不一样
"""
x_class_size_best = 40
temperature_a = 16
temperature_b = 18
# 先求出A的max min max-min
A_max_min_maxmin = np.array(
[
A.max(axis=0),
A.min(axis=0),
A.max(axis=0) - A.min(axis=0),
]
)
# 中间型指标和区间型指标的M
A_M = np.array(
[
max(np.abs(A[:, 2] - x_class_size_best)),
max(temperature_a - np.min(A[:, 3]), max(A[:, 3]) - temperature_b)
]
)
print(A_max_min_maxmin)
print(A_M)
"""
第一步：矩阵正向化
"""
# 公式如下：
# 极大型指标：/
# 极小型指标：max - x max：指标最大值 x：指标值
# 中间型指标：1 - |x_i - x_best| / M x_best：最优值 x：指标值
"""
# 区间型指标：
1 - (a - x_i) / M, x_i < a
= 1, a <= x_i <= b
1 - (x_i - b) / M, b < x_i
[a,b]为最佳区间，x_i为指标值
"""
# X是正向化后的矩阵（矩阵正向化）
X = np.column_stack([
A[:, 0],
np.max(A[:, 1]) - A[:, 1],
1 - np.abs(A[:, 2] - x_class_size_best) / A_M[0],
np.select(
[
A[:, 3] < temperature_a,
(A[:, 3] >= temperature_a) & (A[:, 3] <= temperature_b),
A[:, 3] > temperature_b,
],
[
1 - (temperature_a - A[:, 3]) / A_M[1],
np.ones_like(A[:, 3]),
1 - (A[:, 3] - temperature_b) / A_M[1],
]
)
])
# 在这里先提前算好「矩阵标准化」要用的分母
Z = np.array(
np.sqrt(np.sum(X ** 2, axis=0))
)
# 然后开始矩阵标准化
# Z是标准化矩阵（矩阵标准化）
Z = X / Z
print("原始矩阵正向化 X：")
print(X)
print("正向化矩阵标准化 Z：")
print(Z)
# 求出理想最优解（六边形战士）和理想最劣解
z_i_plus = np.max(Z, axis=0) # +
z_i_minus = np.min(Z, axis=0) # -
print("理想最优解：")
print(z_i_plus)
print("理想最劣解：")
print(z_i_minus)
"""
定权重（结合其他方法，例如：层次分析法、熵权法等）
"""
# 默认权重都是一样的
# 师资 学费 班级人数 气温
w = np.array([0.25, 0.25, 0.25, 0.25])
"""
计算各方案与最优解、最劣解的距离
"""
# 也就是每个方案（学校）的标「标准化矩阵」与最优解、最劣解的距离
D_plus = np.sqrt(np.sum(w * (Z - z_i_plus) ** 2, axis=1))
D_minus = np.sqrt(np.sum(w * (Z - z_i_minus) ** 2, axis=1))
D = np.column_stack([
D_plus, D_minus
])
print("各方案与最优解、最劣解的距离")
print(D)
"""
计算最终得分
"""
"""
公式：
Si = (Di_minus) / (Di_plus + Di_minus)
"""
S = D_minus / (D_plus + D_minus)
print("最终得分")
print(S)运行结果
[[92. 4.5 50. 21. ]
[85. 3. 35. 15. ]
[ 7. 1.5 15. 6. ]]
[10. 3.]
原始矩阵正向化 X：
[[90. 0.5 0.5 0.66666667]
[85. 1.5 0. 0. ]
[92. 0. 1. 0.66666667]
[88. 1. 0.8 1. ]]
正向化矩阵标准化 Z：
[[0.50682714 0.26726124 0.36369648 0.48507125]
[0.47867008 0.80178373 0. 0. ]
[0.51808997 0. 0.72739297 0.48507125]
[0.49556432 0.53452248 0.58191437 0.72760688]]
理想最优解：
[0.51808997 0.80178373 0.72739297 0.72760688]
理想最劣解：
[0.47867008 0. 0. 0. ]
各方案与最优解、最劣解的距离
[[0.34530414 0.33158356]
[0.51479759 0.40089186]
[0.41883191 0.43759244]
[0.15256146 0.53713029]]
最终得分
[0.48986495 0.4378033 0.51095282 0.77879761]